有界性:閉區(qū)間上的連續(xù)函數在該區(qū)間上一定有界。最值性:閉區(qū)間上的連續(xù)函數在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值。介值性:若f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。則對A、B之間的任意實數C,在開區(qū)間(a,b)上至少有一點c,使f(c)=C。
有界性
所謂有界是指,存在一個正數M,使得對于任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤M。
證明:利用致密性定理:有界的數列必有收斂子數列。
最值性
所謂最大值是指,[a,b]上存在一個點x0,使得對任意x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0),則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義,只需把上面的不等號反向即可。
介值性
這個性質又被稱作介值定理,其包含了兩種特殊情況:
(1)零點定理。也就是當f(x)在兩端點處的函數值A、B異號時(此時有0在A和B之間),在開區(qū)間(a,b)上必存在至少一點ξ,使f(ξ)=0。
(2)閉區(qū)間上的連續(xù)函數在該區(qū)間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。
一致連續(xù)性
閉區(qū)間上的連續(xù)函數在該區(qū)間上一致連續(xù)。
所謂一致連續(xù)是指,對任意ε>0(無論其多么。,總存在正數δ,當區(qū)間I上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時,有|f(x1)-f(x2)|<ε,就稱f(x)在I上是一致連續(xù)的。
對于連續(xù)性,在自然界中有許多現象,如氣溫的變化,植物的生長等都是連續(xù)地變化著的。這種現象在函數關系上的反映,就是函數的連續(xù)性。簡單地說,如果一個函數的圖像你可以一筆畫出來,整個過程不用抬筆,那么這個函數就是連續(xù)的。
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